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如图,多面体ABCDS中,面ABCD为矩形,SD⊥AD,且SD⊥AB,AD=1,AB=2,SD=manfen5.com 满分网
(1)求证:CD⊥平面ADS;
(2)求AD与SB所成角的余弦值;
(3)求二面角A-SB-D的余弦值.

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(1)要证CD⊥平面ADS,只需证明直线CD垂直平面ADS内的两条相交直线AD、SD即可; (2)要求AD与SB所成的角,即求BC与SB所成的角,解三角形可求AD与SB所成角的余弦值; (3)过A作AE⊥DB于E  又过A作AF⊥SB于F,连接EF,说明∠AFB为二面角A-SB-D的平面角,解三角形可求二面角A-SB-D的余弦值. (I)证明:∵ABCD是矩形,∴CD⊥AD(1分) 又SD⊥AB,AB∥CD,则CD⊥SD(2分) AD⊥SD(3分) ∴CD⊥平面ADS(4分) (II)【解析】 矩形ABCD,∴AD∥BC,即BC=1, ∴要求AD与SB所成的角,即求BC与SB所成的角(5分) 在△SBC中,由(1)知,SD⊥面ABCD. ∴Rt△SDC中, ∴CD是CS在面ABCD内的射影,且BC⊥CD, ∴SC⊥BC(6分) tan∠SBC= cos∠SBC=(8分) 从而SB与AD的成的角的余弦为. (III)∵△SAD中SD⊥AD,且SD⊥AB ∴SD⊥面ABCD. ∴平面SDB⊥平面ABCD,BD为面SDB与面ABCD的交线. ∴过A作AE⊥DB于E∴AE⊥平面SDB 又过A作AF⊥SB于F,连接EF, 从而得:EF⊥SB ∴∠AFB为二面角A-SB-D的平面角(10分) 在矩形ABCD中,对角线∵ BD=∴在△ABD中,AE= 由(2)知在Rt△SBC,. 而Rt△SAD中,SA=2,且AB=2,∴SB2=SA2+AB2, ∴△SAB为等腰直角三角形且∠SAB为直角, ∴ ∴ 所以所求的二面角的余弦为(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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