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已知抛物线的焦点F在y轴上,抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5,过点F的直...

已知抛物线的焦点F在y轴上,抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,过M,N两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为T.
(I)求抛物线的标准方程;
(II)求manfen5.com 满分网的值;
(III)求证:manfen5.com 满分网的等比中项.
(I)先根据题意设出抛物线的方程,再结合点A到抛物线准线的距离可求出p的值,进而可得到抛物线的标准方程. (II)先求出F的坐标,然后设出直线MN的方程,联立直线与抛物线消去y得到关于x的一元二次方程,表示出两根之和与两根之积,然后表示出,再对x2=4y进行求导,表示出切线MT、NT的方程后联立解出交点T的坐标,得到的坐标表示,最后使运算等于0即可. (III)根据(II)中的坐标求出,再结合抛物线的定义课得到,再由并将直线方程y=kx+1代入,结合(II)中的两根之和与两根之积可得到得证. (I)【解析】 由题意可设抛物线的方程为x2=2py(p≠0). 因为点A(a,4)在抛物线上,所以p>0. 又点A(a,4)到抛物线准线的距离是5,所以+4=5,可得p=2. 所以抛物线的标准方程为x2=4y. (II)【解析】 点F为抛物线的焦点,则F(0,1). 依题意可知直线MN不与x轴垂直, 所以设直线MN的方程为y=kx+1. 因为MN过焦点F,所以判别式大于零. 设M(x1,y1),N(x2,y2). 则x1+x2=4k,x1x2=-4. 由于 切线MT的方程为,① 切线NT的方程为② 由①,②,得 则 所以 (III)证明: 由抛物线的定义知 =k2x1x2+2k(x1+x2)+4=4k2+4. 即的等比中项.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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