Question

集合A₁，A₂，A₃，…，A_n为集合M={1，2，3，…，n}的n个不同的子集，对于任意不大于n的正整数i，j满足下列条件：
①i∉A_i，且每一个A_i至少含有三个元素；
②i∈A_j的充要条件是j∉A_j（其中i≠j）．
为了表示这些子集，作n行n列的数表（即n×n数表），规定第i行第j列数为：a_ij=．
（1）该表中每一列至少有多少个1；若集合M={1，2，3，4，5，6，7}，请完成下面7×7数表（填符合题意的一种即可）；
（2）用含n的代数式表示n×n数表中1的个数f（n），并证明n≥7；
（3）设数列{a_n}前n项和为f（n），数列{c_n}的通项公式为：c_n=5a_n+1，证明不等式：-＞1对任何正整数m，n都成立．（第1小题用表）

	1	2	3	4	5	6	7
1
2
3
4
5
6
7

Answer

（1）由已知中aij=，及①i∉Ai，且每一个Ai至少含有三个元素；②i∈Aj的充要条件是j∉Aj（其中i≠j）．可得数据表中各个数据；
（2）由条件①中的i∉Ai，表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，aij与aji恰好一个为1，可得数表中除该对角线以外，0与1各占一半，即个1，而据题设条件①每一个Ai至少含有三个元素得：作出的n×n数表的每一列至少有3个1，所以整个n×n数表（共有n列）至少有3n个1，由此构造关于n的不等式，可求出n的范围
（3）由已知中确定出数列{an}，数列{cn}的通项公式，可证得-＞1对任何正整数m，n都成立．
【解析】
（1）根据条件①每个Ai中至少含有三个元素，作出的数表每一列至少有三个1.7×7数表如下：

1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1
2 1 1 1
3 1 1 1
4 1 1 1
5 1 1 1
6 1 1 1
7 1 1 1

（2）题设条件①中的i∉Ai，表明的一条对角线上数字都是0，题设条件②表明除对角线以外，aij与aji恰好一个为1，
而另一个为0，即数表中除该对角线以外，0与1各占一半，故数表中共有f（n）=个1．
另一方面，根据题设条件①每一个Ai至少含有三个元素得：
作出的n×n数表的每一列至少有3个1，所
以整个n×n数表（共有n列）至少有3n个1，
因此列出不等式：≥3n，
解得n≥7．
（3）∵n≥2时，an=f（n）-f（n-1）=n-1
检验n=1也成立，故an=n-1
∴cn=5an+1=5n-4
要证：-＞1对任何正整数m，n都成立，
只要证：5cmn＞1+cm•cn+
∵cmn=5mn-4，cm•cn=25mn-20（m+n）+16
故只要证：5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+，
即只要证：20m+20n-37≥，又
∵≤cm•cn=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37
所以命题得证．