Question

已知圆C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1与圆C₂：x²+y²=1，在下列说法中：
①对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终相切；
②对于任意的θ，圆C₁与圆C₂始终有四条公切线；
③当时，圆C₁被直线截得的弦长为；
④P，Q分别为圆C₁与圆C₂上的动点，则|PQ|的最大值为4．
其中正确命题的序号为     ．

Answer

①由两圆的方程找出圆心坐标与半径，然后利用两点间的距离公式求出两圆心之间的距离，与两半径之和比较大小即可判断两圆的位置关系；
②根据①得到两圆的位置关系即可得到两圆的公切线的条数；
③把θ的值代入圆方程中得到圆C1的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，由半径和求出的弦心距，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦长；
④根据两圆相切得到，两圆心确定的直线与两圆的两个交点为P和Q时，|PQ|最大，最大值等于两直径相加．
【解析】
①由圆C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1与圆C2：x2+y2=1，
得到圆C1的圆心（2cosθ，2sinθ），半径R=1；圆C2的圆心（0，0），半径r=1，
则两圆心之间的距离d==2，而R+r=1+1=2，所以两圆的位置关系是外切，此答案正确；
②由①得两圆外切，所以公切线的条数是3条，所以此答案错误；
③把θ=代入圆C1：（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=1得：（x-）2+（y-1）2=1，
圆心（，1）到直线l的距离d==，
则圆被直线l截得的弦长=2=，所以此答案正确；
④由两圆外切得到|PQ|=2+2=4，此答案正确．
综上，正确答案的序号为：①③④．
故答案为：①③④