Question

已知三棱锥P-ABC的三视图如如图所示，
（Ⅰ）求证：△PBC是直角三角形；
（Π）求三棱锥P-ABC是全面积；
（Ⅲ）当点E在线段PC上何处时，AE与平面PAB所成的角为60

Answer

（1）根据视图中所给的数据特证可以证明BC⊥面PAB，由线面垂直的性质证出BC⊥PB，由此证得三角形为直角三角形
（2）由于三棱锥的四个面都是直角三角形，故把各个棱的长度求出，由三角形面积公式求出各面的面积相加既得；
（3）本题中出现了同一点出发的三个棱两两垂直的特征，故可以建立空间直角坐标系，设出E点的坐标，用参数表示出直线AE的方向向量，求出面PAB的法向量，由线面角公式建立起点E的坐标所满足的方程，求出参数即可．
【解析】
解法一：
（Ⅰ）由俯视图可得：
面PAC⊥ABC，面PAB⊥面ABC
又面PAC∩面PAB=PA                                
故PA⊥面ABC
∵BC⊂面ABC，∴BC⊥PA
有俯视图知BC⊥AB，∴BC⊥面PAB∵BP⊂面PAB，∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．

（Ⅱ）三角形PAC的面积为
∵俯视如图是底边长为，斜边上的高为的等腰直角三角形
∴三角形PAB的面积为，且PB=
由（Ⅰ）知三角形PBC是直角三角形，
故其面积为
故三棱锥P-ABC的全面积为

（Ⅲ）在面ABC内过A做AC的垂线AQ，
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如如图所示则
设为面PAB的一个法向量
则
取设
∵
∴
=
∴
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°

解法二：
（Ⅰ）由正视图和俯视图可判断PA⊥AC，且PA⊥AB∴PA⊥面ABC
在面ABC内过A做AC的垂线AQ
以A为原点，AC、AQ、AP所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如如图所示
则P
∴BC⊥PB
故△PBC是以B为直角顶点的直角三角形．
（Ⅱ）同解法一．
（Ⅲ）设为面PAB的一个法向量
则取

∵
∴
=
∴
故当E为PC的中点时，AE与面PAB所成的为60°．