满分5 > 高中数学试题 >

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,...

manfen5.com 满分网如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.
(1)求证:EF⊥面PAB;
(2)若AB=manfen5.com 满分网BC,求AC与面AEF所成的角.
方法一:(1)取PA中点G,连接FG,DG,证明DG⊥平面PABDE,根据FE∥DG,得出EF⊥面PAB; (2)由图形知线面角不易做出,但斜线AC的长度易求出,且可用等体积法算出C到而AEF的距离,如此则可以算出线面角的正弦值.此法省却了作图的麻烦. 方法二:由题设建立空间坐标系比较方便,故可用空间向量法解决,(1)求出直线的方向向量与面的法向量,证明其内积为0即可.(2)求出面的法向量与线的方向向量,按规则求出线面角即可. 【解析】 方法一: (1)取PA中点G,连接FG,DG ⇒四边形DEFG为平行四边形⇒EFDG ⇒平面PAB⊥平面PAD 又PD=AD,PG=GA⇒DG⊥PA ⇒DG⊥平面PABDE,又FE∥DG ⇒EF⊥平面PAB.(6分) (2)设AC,BD交于O,连接FO. 由PF=BF,BO=OD得FOPD,又PD⊥平面ABCD ∴FO⊥平面ABCD 设BC=a,则AB=a,∴PA=a, DG=a=EF,∴PB=2a,AF=a. 设C到平面AEF的距离为h. ∵VC-AEF=VF-ACE,∴ 即∴ ∴AC与平面AEF所成角的正弦值为. 即AC与平面AEF所成角为(12分) 方法二:以D为坐标原点,DA的长为单位,建立如图所示的直角坐标系, (1)证明: 设E(a,0,0),其中a>0,则,,∴EF⊥PB,,∴AB⊥EF 又PB⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,PB∩AB=B,∴EF⊥⊂平面PAB(6分) (2)【解析】 由,得, 可得 , 则异面直线AC,PB所成的角为, ,∴, 又PB⊥EF,AF为平面AEF内两条相交直线, ∴PB⊥平面AEF,∴AC与平面AEF所成的角为, 即AC与平面AEF所成的角为.(12分)
复制答案
考点分析:
相关试题推荐
将10个白小球中的3个染成红色,3个染成蓝色,试解决下列问题:
(1)求取出3个小球中红球个数ξ的分布列和数学期望;
(2)求取出3个小球中红球个数多于白球个数的概率.
查看答案
若向量manfen5.com 满分网,且manfen5.com 满分网
(1)求θ;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosθsinx的值域.
查看答案
选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
(1)若M,N分别是曲线ρ=2cosθ和manfen5.com 满分网上的动点,则M,N两点间的距离的最小值是    
(2)不等式|2x-1|-x<1的解集是    
(3)如图,过点P作圆O的割线PAB与切线PE,E为切点,连接AE,BE,∠APE的平分线与AE,BE分别交于点C,D,若∠AEB=30°,则∠PCE=    °;
manfen5.com 满分网 查看答案
若n=manfen5.com 满分网,则manfen5.com 满分网展开式中含x2项的系数为    查看答案
对于偶函数f(x)=mx2+(m+1)x+2,x∈[-2,2],其值域为    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

Copyright @ 2008-2019 满分5 学习网 ManFen5.COM. All Rights Reserved.