Question

在各项均为正数的数列{a_n}中，前n项和S_n满足2S_n+1=a_n（2a_n+1），n∈N^*．
（1）证明{a_n}是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；
（2）在平面直角坐标系xoy面上，设点M_n（x_n，y_n）满足a_n=nx_n，S_n=n²y_n，且点M_n在直线l上，M_n中最高点为M_k，若称直线l与x轴．直线x=a，x=b所围成的图形的面积为直线l在区间[a，b]上的面积，试求直线l在区间[x₃，x_k]上的面积；
（3）若存在圆心在直线l上的圆纸片能覆盖住点列M_n中任何一个点，求该圆纸片最小面积．

Answer

本题是解析几何、数列、极限多知识点融合一体的综合性题，重点考查数列中an和Sn的关系、等差数列的证明、求数列的通项公式、前n项和、直线方程的应用、极限的思想等；
（1）该小题较易，利用an=sn-sn-1就可以把已知条件转化为关于an的递推关系，进而得到{an}为等差数列，其通项公式、前n项和易得；
（2）根据题意可得点Mn（+，），令x=，y=，消去n得关于x、y的方程，再根据y=是n的减函数可得M1为Mn中的最高点，且M1（1，1），又满足条件的图形为直角梯形，从而求得其面积；
（3）根据直线C：3x-2y-1=0上的点列Mn依次为M1（1，1），M2（，），M3（，），…，Mn（，），可得其极限点M（，），从而|M1M|，最小圆纸片的面积即得．
【解析】
（1）由已知得2Sn=2an2+an-1①
故2Sn+1=2an+12+an+1-1②
②-①得2an+1=2an+12-2an2+an+1-an
结合an＞0，得an+1-an=
∴{an}是等差数列
又n=1时，2a1=a12+a1-1，解得a1=1或a1=
∵an＞0，∴a1=1
又d=，故an=1+（n-1）=n+
∴Sn=n+=n2+n；
（2）∵an=nxn，Sn=n2yn
∴xn==+，yn==+
即得点Mn（+，）
设x=，y=，
消去n，得3x-2y-1=0，
即直线C的方程为3x-2y-1=0
又y=是n的减函数
∴M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）
又M3的坐标为（，）
∴C与x轴．直线x=，x=1围成的图形为直角梯形
从而直线C在[，1]上的面积为
S=×（+1）×（1-）=；（9分）
（3）由于直线C：3x-2y-1=0上的点列Mn依次为
M1（1，1），M2（，），M3（，），
Mn（，），
而（）=，（）=
因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（，）
又|M1M|==
所以最小圆纸片的面积为．