Question

已知函数f（x）=ax-x³，对区间（0，1]上的任意两个值x₁、x₂，当x₁＜x₂时总有f（x₂）-f（x₁）＞x₂-x₁成立，则a的取值范围是（ ）
A．[4，+∞）
B．（0，4）
C．（1，4）
D．（0，1）

Answer

由于x1＜x2时总有f（x2）-f（x1）＞x2-x1成立，故可将解析式代入，进行整理化简，分离出常数a来，得到a＞（x12+x22+x1x2）+1在区间（0，1]上恒成立进而判断出右边式子的最值，得出参数a的取值范围．
【解析】
f（x2）-f（x1）＞x2-x1成立
即ax1-x13-ax2+x23＞x2-x1成立
即a（x2-x1）-（x2-x1）（x12+x22+x1x2）＞x2-x1成立
∵x1＜x2，即x2-x1＞0
∴a-（x12+x22+x1x2）＞1成立
∴a＞（x12+x22+x1x2）+1在区间（0，1]上恒成立
当x1x2的值为1时，（x12+x22+x1x2）+1的最大值为4，由于x1＜x2≤1故，（x12+x22+x1x2）+1的最大值取不到4
∴a≥4
故选 A