Question

在数列{a_n}中，a₁=4且对于任意的自然数n∈N⁺都有a_n+1=2（a_n-n+1）
（I）证明数列{a_n-2n}是等比数列．
（II）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n．

Answer

（I）用第n+1项除以第n项，将已知等式代入，求出商是常数，利用等比数列的定义得证．
（II）利用等比数列的通项公式求出an-2n，求出an，据an是有一个等差数列与一个等比数列的和构成的，所以利用分组法求出前n项和．
【解析】
（I）∵an+1=2（an-n+1）
∴=
∴数列{an-2n}是以a1-2=2为首项，以2为公比的等比数列
（II）由（I）可得
an-2n=2•2n-1=2n
∴an=2n+2n
∴=2n+1-2+n2+n