Question

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，CE=EF=AC
（I）求证：AF∥平面BDE；
（II）求证：CF⊥平面BDE．

Answer

（Ⅰ）证明平面BDE外的直线AF平行平面BDE内的直线GE，即可证明AF∥平面BDE；
（Ⅱ）证明CF垂直平面BDF内的两条相交直线：BD、EG，即可证明求CF⊥平面BDF；
证明：（Ⅰ）设AC于BD交于点G．
因为EF∥AG，且CE=EF=AC，AG=AC，
EF∥AG，EF=AG
所以四边形AGEF为平行四边形，
所以AF∥EG，
因为EG⊂平面BDE，AF不属于平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
（Ⅱ）连接FG．因为EF∥CG，EF=CG，
且CE=EF，所以平行四边形CEFG为菱形．所以CF⊥EG．
因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC．
又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD=AC，
所以BD⊥平面ACEF．
所以CF⊥BD．又BD∩EG=G，
所以CF⊥平面BDE．