Question

已知函数，g（x）=alnxa∈R，
（I）若曲线y=f（x）与y=g（x）相交，且在交点处有共同的切线，求a值及在该点处切线方程．
（II）设当h（x）≥0恒成立时求实数a的取值范围．

Answer

（I）已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程，考虑到求解导函数的方法，先求出交点，再根据切线相等求出a，最后由直线上一点及斜率求出直线方程即可．
（II）设函数h（x）的最小值为Φ（a），只须Φ（a）≥0即可．当h（x）存在最小值时，求其最小值φ；首先根据h（x）的函数表达式，要求最值考虑到应用函数的导函数的性质，先求出h（x）的导函数h′（x），再分类讨论当a＞0和a≤0时的情况求出极小值即可．
【解析】
（I）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．
则：f′（x）=，g′（x）=（x＞0），
由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，）
故有 =alnx且 =，
解得a=，x=e2，
∵两条曲线交点的坐标为（e2，e）切线的斜率为k=f′（e2）=，
所以切线的方程为y-e=（x-e2）；
（II）由条件知h（x）=-alnx（x＞0），
∴h′（x）=，
（1）当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2，
所以当0＜x＜4a2时h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（0，4a2）上递增．
所以x＞4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
所以Φ（a）=h（4a2）=2a-aln4a2=2
（2）当a≤0时，h（x）=（1/2-2a）/2x＞0，h（x）在（0，+∞）递增，无最小值．
故h（x）的最小值Φ（a）的解析式为2a（1-ln2a）（a＞o）．
解不等式2a（1-ln2a）≥0得0＜a≤．
即为实数a的取值范围．