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平面内动点M与点P1(-2,0),P2(2,0)所成直线的斜率分别为k1、k2,且满足manfen5.com 满分网
(1)求点M的轨迹E的方程,并指出E的曲线类型;
(2)设直线l:y=kx+m(k>0,m≠0)分别交x、y 轴于点A、B,交曲线E于点C、D,且|AC|=|BD|,manfen5.com 满分网求k的值及△NCD面积取得最大时直线l的方程.
(1)设动点M的坐标为(x,y),由k1•k2=-,可得,整理可求 (2)在,从而可得AB的中点为,联立方程结合方程的根与系数的关系及|AC|=|BD|,可得CD中点就是AB中点,从而可求k,由于CD|=,点N到CD的距离d=|m|,代入利用基本不等式可求面积的最大值及K的值,进而可求直线方程 【解析】 (1)设动点M的坐标为(x,y),∵k1•k2=-,∴,即=1(y≠0) 动点M的轨迹E是中心在原点,半长轴为2,焦点为(±,0)的椭圆 (除去长轴两个端点.)  它的方程是=1(y≠0). (2)在,AB的中点为 设C(x1,y1),D(x2,y2),由-4=0△=32k2-8m2+16,x1+x2=-, ∵|AC|=|BD|,∴CD中点就是AB中点, 即-,∵k>0,∴k=(2)|CD|= 点N到CD的距离d=|m|,S△NCD=|m|= 当且仅当4-m2=m2时等号成立,即m2=2,m=±,此时△>0, 所以直线的方程为l:y=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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