Question

平面内动点M与点P₁（-2，0），P₂（2，0）所成直线的斜率分别为k₁、k₂，且满足．
（1）求点M的轨迹E的方程，并指出E的曲线类型；
（2）设直线l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分别交x、y 轴于点A、B，交曲线E于点C、D，且|AC|=|BD|，求k的值及△NCD面积取得最大时直线l的方程．

Answer

（1）设动点M的坐标为（x，y），由k1•k2=-，可得，整理可求
（2）在，从而可得AB的中点为，联立方程结合方程的根与系数的关系及|AC|=|BD|，可得CD中点就是AB中点，从而可求k，由于CD|=，点N到CD的距离d=|m|，代入利用基本不等式可求面积的最大值及K的值，进而可求直线方程
【解析】
（1）设动点M的坐标为（x，y），∵k1•k2=-，∴，即=1（y≠0）
动点M的轨迹E是中心在原点，半长轴为2，焦点为（±，0）的椭圆
（除去长轴两个端点．）  它的方程是=1（y≠0）．
（2）在，AB的中点为
设C（x1，y1），D（x2，y2），由-4=0△=32k2-8m2+16，x1+x2=-，
∵|AC|=|BD|，∴CD中点就是AB中点，
即-，∵k＞0，∴k=（2）|CD|=
点N到CD的距离d=|m|，S△NCD=|m|=
当且仅当4-m2=m2时等号成立，即m2=2，m=±，此时△＞0，
所以直线的方程为l：y=．