Question

在数列{a_n}中，若a₁，a₂是正整数，且a_n=|a_n-1-a_n-2|，n=3，4，5，…，则称{a_n}为“绝对差数列”．
（1）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；
（2）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．

Answer

（1）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．（答案不唯一）
（2）根据定义，数列{an }必在有限项后出现0项．证明：假设{an }中没有0项，由an=|an-1-an-2|，知an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1．令，由于c1是确定的正整数，这样减下去，必然存在某项c1＜0，这与cn＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，由此可知“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．
（1）【解析】
（答案不唯一）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．
（2）证明：根据定义，数列{an }必在有限项后出现0项，证明如下：
假设{an }中没有0项，由于an=|an-1-an-2|，所以对于的n，都有an≥1，从而
当an-1＞an-2时，an=an-1-an-2≤an-1-1（n≥3）
当an-1＜an-2时，an=an-2-an-1≤an-2-1（n≥3）
即an的值要么比an-1至少小1，要么比an-2至少小1．
令，n=1，2，3，…，
则0＜cn≤cn-1-1（n=2，3，4，…），由于c1是确定的正整数，
这样减下去，必然存在某项c1＜0，
这与cn＞0（n=1，2，3，4，…）矛盾，
从而{an }必有0项．
若第一次出现的0项为第n项，
记an-1=A（A≠0），则自第n项开始，每三个相邻的项周期地取值0，A，A，
即k=0，1，2，3，…．
所以“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．