Question

某城市为了解决人民路拥挤现象，政府决定建设高架公路，该高架公路两端的桥墩及引桥已建好，这两桥墩相距1280米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为32万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
（1）试写出y关于x的函数关系式；
（2）政府至少还需投入多少万元资金才能启动此工程建设，此时新建桥墩有多少个？

Answer

（1）先根据题意设需要新建n个桥墩，得出n与x的关系式，再结合题意即可写出y关于x的函数关系式；
（2）利用导数研究函数f（x）的单调性，先求出原函数的导数，利用f'（x）＜0，f（x）减函数，当f'（x）＞0．f（x）为增函数进而得出f（x）的最小值，从而解决问题．
【解析】
（1）设需要新建n个桥墩，（n+1）x=1280，即（2分）
所以（5分）
=（0＜x＜1280）（6分）
（2）由（1）知，=（8分）
令f'（x）=0，得，所以x=16（9分）
当0＜x＜16时f'（x）＜0，f（x）在区间（0，16）内为减函数；（10分）
当16＜x＜1280时，f'（x）＞0．f（x）在区间（16，1280）内为增函数，（11分）
所以f（x）在x=16处取得最小值f（16）=10208万元（12分）
此时，n=（14分）
故政府至少还需投入10208万元资金此时新建桥墩有79个．（15分）