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已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3. (1)当a=4,2≤x≤5,求函数f...

已知函数f(x)=x|x-a|+2x-3.
(1)当a=4,2≤x≤5,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若x≥a,试求f(x)+3>0的解集;
(3)当x∈[1,2]时,f(x)≤2x-2恒成立,求实数a的取值范围.
(1)含绝对值的函数可先讨论去掉绝对值,分别求出每段上的最值,后比较出最大值以及最小值. (2)当x≥a时,可去掉绝对值,通过讨论比较两个根的大小,求出不等式的解集 (3)对于恒成立求参数的问题我们常常将参数进行分离,然后研究在x∈[1,2]上的最大值,在x∈[1,2]上的最小值. 【解析】 (1)当a=4时,f(x)=x|x-4|+2x-3, ①2≤x<4时,f(x)=x(4-x)+2x-3=-(x-3)2+6, 当x=2时,f(x)min=5;当x=3时,f(x)max=6(2分) ②当4≤x≤5时,f(x)=x(x-4)+2x-3=(x-1)2-4, 当x=4时,f(x)min=5;当x=5时,f(x)max=12 综上所述,当x=2或4时,f(x)min=5; 当x=5时,f(x)max=12(4分) (2)若x≥a,f(x)+3=x[x-(a-2)],(6分) 当a>2时,x>a-2,或x<0,因为a>a-2,所以x≥a; 当a=2时,得x≠0,所以x≥a; 当a<2时,x>0,或x<a-2,①若0<a<2, 则x≥a;②若a≤0,则x>0 综上可知:当a>0时,所求不等式的解集为[a,+∞);(10分) 当a≤0时,所求不等式的解集为(0,+∞)(12分) (3)当x∈[1,2]时,f(x)≤2x-2 即x•|x-a|≤1⇔(14分) 因为在x∈[1,2]上增,最大值是, 在x∈[1,2]上增,最小值是2,故只需.故实数a的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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