Question

各项均为正数的数列{a_n}的前n次和S_n，已知S₁=2，a₆₇₀=2009，2（a+b）S_n=（a_n+a）（a_n+b），n∈N₊，b＞＞a．
（1）求a和b的值；
（2），记数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（1）先看n=1时，根据2（a+b）S1=（a1+a）（a1+b），求得a1=a或a1=b，同时b＞＞a．进而求得b；看n≥2时把2（a+b）Sn=（an+a）（an+b）和2（a+b）•Sn-1=（an-1+a）（an-1+b）相减整理可得an=an-1+（a+b）判断出数列{an}为等差数列，进而可求得通项公式，根据a670=2009求得a．
（2）把（1）中的an代入中求得bn，进而用错位相减法求得Tn．
【解析】
（1）n=1时，2（a+b）•a1=（a1+a）（a1+b）
∴a1=a或a1=b
∵a1=2，b＞＞a，
∴b=2，
n≥2时，2（a+b）•Sn-1=（an-1+a）（an-1+b）则有an2-an-12=（a+b）（an+an-1），（n≥2）
∵an＞0∴an=an-1+（a+b）（n≥2）
∴an=2+（n-1）（2+a）
∵a670=2009
∴a=1
（2）由（1）an=2+3（n-1）=3n-1
∴bn=
∵Tn=+++
∴=++
∴=+（++=1-
∴