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已知直三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AC,F为BB1上一点,BF=BC=2,...

已知直三棱柱ABC-A1B1C1,AB=AC,F为BB1上一点,BF=BC=2,FB1=1,D为BC中点,E为线段AD上不同于A、D的任意一点,
(1)证明:EF⊥FC1
(2)若manfen5.com 满分网,是否存在点E满足EF与平面FA1C1所成角为manfen5.com 满分网,若存在,求点E到平面A1C1CA的距离;若不存在,说明理由.

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(1)由题意先证明AD⊥面B1BCC1,得AD⊥C1F;再利用≌证明C1F⊥FD,可得C1F⊥面DEF;即可得证; (2)先假设存在,建立坐标系求出平面FA1C1的法向量,利用向量数量积列出EF与平面FA1C1所成角的余弦值求解即可. 【解析】 (1)∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC ∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱锥,∴B1B⊥面ABC ∴BB1⊥AD,BC∩BB1=B, ∴AD⊥面B1BCC1,C1F⊂面B1BCC1 ∴AD⊥C1F;∵BC=BF=2,∴DB=1,又∵FB1=1 ∴≌,∴∠DBF+∠C1FB1=, ∴∠DFC1=∴C1F⊥FD, ∴C1F⊥面DEF,∴C1F⊥EF (2)以A1为坐标原点,A1B1、A1C1、A1A所在直线为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系, ∴=(0,,0),=(,0,1), 设面A1FC1的法向量为=(x,y,z),则有,=0可得 =(1,0,-),D() 设E(,,3)(0<t<1), ∴=(-,,2),由已知=. 整理得2t2+t-3=0,解之得或t=1 ∴不存在合适的点E.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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