Question

（x＞0），已知k≥0，若f（x）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer

利用导数求解．先求出函数f（x）的导数，后对k值进行讨论：①0≤k≤2；②k＞2．对于第一种情形，由函数的单调性知符合题意，对于第二种情形，由函数的单调性知f（x）＞0恒不成立，从而求出k的取值范围．
【解析】
f'（x）==，
0≤k≤2时，∵x＞0，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0．+∞）上单调递增．
∴f（x）＞f（0）=0，符合题意．
k＞2时，令f'（x）=0，
∵x＞0解得x=k（k-2）∴0＜x＜k（k-2）时，f'（x）＜0，
f（x）在（0，k（k-2））单调递减，
则∃x∈（0，k（k-2）），f（x）＜f（0）=0与已知矛盾
综上，0≤k≤2．