Question

设四点A、B、C、D均在双曲线x²-y²=1的右支上．
（1）若=（实数λ≠0），证明：（O是坐标原点）；
（2）若|AB|=2，P是线段AB的中点，过点P分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为M、N，求四边形OMPN的面积的最大值．

Answer

（1）据两向量共线的充要条件得两向量共线，据两线平行斜率相等，设出直线方程与曲线方程联立，利用韦达定理代入得证．
（2）利用弦长公式得到斜率与截距的关系，据四边形为两个三角形面积的和表示出面积，转化为求函数的最大值．
【解析】
（1）∵=，∴∥
①直线AB的斜率不存在时，
设方程为x=m（|m|＞1），
设A（m，y1），则B（m，-y1）且m2-y12=1
∴=m2-y12=1同理
∴=
②直线AB斜率存在时，设方程为y=kx+b
与x2-y2=1联立得（1-k2）x2-2kbx-b2-1=0
设A（x1，y1）B（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=
则=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=（1+k2）x1x2+kb（x1+x2）+b2=
∵AB∥CD∴直线CD与直线AB斜率相等，同理
∴=综上，=
（2）AB斜率存在时，4=|AB|2=（1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2]
由（1）②得∵x1•x2＞0∴k2＞1，设P（x，y），则x==y=kx+b=∴S===
∵k2＞1∴＜S＜1；AB斜率不存在时，易得S=1
综上，四边形OMPN面积的最大值为1．