Question

记，g（x）是f（x）的反函数．
（Ⅰ）若关于x的方程：在x∈[0，1）上有实数解，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）当a=e（e是自然对数的底数）时，记，求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）当a＞1时，求证：（n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）求出g（x），在[2，6]上有实数解，求出t的表达式，利用导数确定t 的范围；
（Ⅱ）a=e求出 ，利用导数推出是增函数，求出最小值，即可求函数h（x）的最大值；
（Ⅲ）利用放缩法，求出的取值范围，最后推出小于即可．
【解析】
（Ⅰ）由条件可知：t=（1+x）（2x2-5x+5），在x∈[0，1）上有解．
t'=6x（x-1），当x∈[0，1）时，t'（x）＜0，所以t（x）在[0，1）上单调递减．t（1）＜t（x）≤t（0），即4＜t≤5．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（-1，1），，
当a=e时，，所以，
所以h（x）在[0，+∞）上单调递减．所以，x≥0时，h（x）max=h（0）=0；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）的启示可以设
则，
所以G（x）在[0，+∞）上单调递减，
当x＞0时，G（x）＜G（0）=0，即
所以．（16分）