Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为为实数），x∈R．
（1）若函数f（x）的最小值是f（-1）=0，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k在区间[-3，-1]上恒成立，试求k的取值范围；
（3）若a＞0，f（x）为偶函数，实数m，n满足mn＜0，m+n＞0，定义函数F（x）=，试判断F（m）+F（n）值的正负，并说明理由．

Answer

（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解二者联立的方程求出a，b的值即可得到函数的解析式．
（2）将f（x）＞x+k，在区间[-3，-1]上恒成立，转化成k＜x2+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，问题变为求x2+x+1在区间
[-3，-1]上的最小值问题，求出其最小值，令k 小于其最小值即可解出所求的范围．
（3）f（x）是偶函数，可得b=0，求得f（x）=ax2+1，由mn＜0，m+n＞0，可得m、n异号，设m＞0，则n＜0，故可得
m＞-n＞0，代入F（m）+F（n），化简成关于m，n的代数式，由上述条件判断其符号即可．
【解析】
（1）由已知a-b+1=0，且-=-1，解得a=1，b=2，
∴函数f（x）的解析式是f（x）=x2+2x+1；
（2）在（1）的条件下，f（x）＞x+k，即k＜x2+x+1在区间[-3，-1]上恒成立，
由于函数y=x2+x+1在区间[-3，-1]上是减函数，且其最小值为1，
∴k的取值范围为（-∞，1）；
（3）∵f（x）是偶函数，∴b=0，∴f（x）=ax2+1，
由mn＜0知m、n异号，不妨设m＞0，则n＜0，又由m+n＞0得m＞-n＞0，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am2+1-（an2+1）=a（m2-n2），
由m＞-n＞0得m2＞n2，又a＞0，得F（m）+F（n）＞0，
∴F（m）+F（n）的值为正．