Question

定义区间（m，n），[m，n]，[m，n），（m，n]的长度均为n-m，其中n＞m，已知关于x的不等式组的解集构成的各区间的长度和为5，则实数t的取值范围是（ ）
A．（0，1]
B．[1，+∞）
C．（0，5]
D．[5，+∞）

Answer

先解关于x的不等式组，解出两个不等式的解集，求两个不等式的解集的交集，A∩B⊆（0，5），不等式组的解集的各区间长度和为5，写出不等式组进行讨论，得到结果．
【解析】
先解不等式，整理得，即（x+1）•（x-5）＜0，
所以不等式 的解集A=（-1，5）
设不等式log2x+log2（tx+t）＜log230 的解集为B，则不等式组的解集为A∩B．
不等式log2x+log2（tx+t）＜log230  等价于 ．
又A∩B⊆（0，5），不等式组的解集的各区间长度和为6，所以不等式组 ，当x∈（0，5）时，恒成立．   
当x∈（0，5）时，不等式tx+t＞0恒成立，得t＞0．①（13分）
当x∈（0，5）时，不等式tx2+tx-30＜0恒成立，即  恒成立．    
而当x∈（0，5）时，的取值范围为 （1，+∞），所以实数 t≤1，②
综合①②可得，t的取值范围为 （0，1]，
故选A．