Question

已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由题意知，b=1，由此能求出椭圆的方程．
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1），，消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0，P（x1，y1），Q（x2，y2），然后由韦达定理结合题设条件进行求解．
【解析】
（I）由题意知，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为 =1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k（x-1）
消去y得（4k2+1）x2-8k2x+4k2-4=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2）
则由韦达定理得
则

=m2-m（x1+x2）+x1x2+k2（x1-1）（x2-1）
=
=
要使上式为定值须 ，解得∴为定值
当直线l的斜率不存在时 由 可得

∴
综上所述当 时， 为定值 ．