Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列a_n满足，
设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和的值；
（3）设，是否存在m∈N⁺，使得对任意n∈N⁺， 恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令x=y=可得，=-2，从而可求t
（2）由可令x=y=an可得，从而可证，结合等比数列的通项公式可求f（an）；利用等比数列的求和公式可求
（3）用等比数列的求和公式可求，代入可求，由cn 是递减数列，可得，只须，解不等式可求m的最小正数值
【解析】
（1）令x=y=可得，=-2
∵=-2∴t=
（2）∵
令x=y=an可得，
∴数列{f（an）}是以-1为首项，以2为公比的等比数列
∴f（an）=-2n-1
=-（）
==
∴．
（3）由（2）得，=-（）
∴，∴cn 是递减数列，
∴，只须，
即4log22m-12log2m-7＞0，
解可得，或
∴≈0.71或，m≈11.31
∴当m≥12，且m∈N* 时，7cn＜6log22m-18log2m 对任意n∈N* 恒成立，
∴m 的最小正整数值为12．