Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²，求数列 {b_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）设{a_n}的前n项和为S_n，证明：不等式T_n+1≤4T_n对任意n∈N^*均成立．

Answer

（Ⅰ）把题设整理成an+1-（n+1）=4（an-n）的样式进而可知 为常数，判定数列{an-n}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首项和公比可求得{an-n}的通项公式，进而根据题设求得数列{bn}的通项公式，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn．
（Ⅲ）由（Ⅰ）an=4n-1+n，从而可得数列{an}的前n项和
=，再利用作差法化简Tn+1-4Tn即可．
【解析】
（Ⅰ）由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*
又a1-1=1≠0
∴…（3分）
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
∴an-n=4n-1即an=4n-1+n（n∈N*）…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=n（an-n）=n•4n-1…（5分）
∴Sn=1•4+2•41+3•42+…n•4n-1…①
 4Sn=1•41+2•42+3•43+…（n-1）•4n-1+n•4n…②…（6分）
由①-②得：-3Sn=1+4+42+…4n-1-n•4n…（7分）
=…（8分）
∴=…（9分）

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）an=4n-1+n
∴数列{an}的前n项和=
=…（11分）
∴对于任意的n∈N*，
…（12分）
==…（13分）
即Tn+1≤4Tn对于∀n∈N*成立…（14分）