Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，点在直线y=2x+1上，数列{b_n}满足
（1）求b_n+1a_n-（b_n+1）a_n+1的值；
（2）求证：

Answer

（1）把点（an•an+1）代入直线方程求得数列的递推式，整理得an+1+1=2（an+1），判断出{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，进而根据等比数列的通项公式求得an．同时根据求得，进而判断出整理得bn+1an-（bn+1）an+1=0，进而看当n=1时b2a1-（b1+1）a2=-3．，综合可得答案．
（2）根据（1）可知进而求得=，先看当k≥2时求得，进而可知进而再看n=1时不等式也成立．原式得证．
【解析】
（1）∵点（an，an+1）在直线y=2x+1上，∴an+1=2an+1∴an+1+1=2（an+1），
即（an+1）是以2为首项，2为公比的等比数列∴an=2n-1
又
∴
∴
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0（n≥2）
当n=1时，b1=a1=1，b2=a2=3
则b2a1-（b1+1）a2=-3．

（2）由（1）知
∴．
∵k≥2时，=
∴••
∴
另证：当n≥2时2n-2≥1（仅当n=2取等号）
∴2n-1≥3•2n-2，即
∴当n≥2时，
而n=1显然成立
∴
即