Question

设函数f（x）=e^x，g（x）=x²+4x+5，g（x）的导函数为g'（x）（e为自然对数底数）．
（Ⅰ）若函数-ag'（x）+4a有最小值0，求实数a的值；
（Ⅱ）记h（x）=f（x+2n）-ng（x）（n为常数），若存在唯一实数x，同时满足：（i）x是函数h（x）的零点；（ii）h′（x）=0．试确定x、n的值，并证明函数h（x）在R上为增函数．

Answer

（Ⅰ）求出y的表达式，利用求导数方法研究其单调性，确定最小值，令其为0，解方程求出参数值．
（Ⅱ）：（i）x是函数h（x）的零点；（ii）h′（x）=0这两个条件给出了两个方程，利用此两方程即可解出x、n的值，由此求出函数h（x）的解析式，再利用导数为正，证明其是增函数．
解（Ⅰ）∵，
当a≤0时，y'＞0，函数在R上为增函数，故没有最小值，∴a＞0（2分）
此时由2e2x-1-2a=0得：x=（lna+1），且x＞（lna+1）时，y'＞0
x＜x＞（lna+1）时，y'＜0，
∴x∈（-∞，（lna+1））时，函数为减函数，
x∈（（lna+1），+∞）时，函数为增函数，
∴
（Ⅱ）∵h（x）=ex+2n-n（x2+4x+5），∴h'（x）=ex+2n-2nx-4n，
∵，
∴nx2+4nx+5n=2nx+4n由（1）知n≠0，∴2x+4=x2+4x+5，∴（x+1）2=0∴x=-1（9分）
代入（1）有e2n-1-2n=0，由第（I）小题知，A、=1时，函数∴∵，R'（x）=ex+1-1，（12分）
∴x≥-1时，R'（x）≥0，x＜-1时，R'（x）＜0x=-1时，R（x）min=0，∴x∈R，R（x）≥0，仅当x=-1时R（x）=0∴h'（x）≥0在R上恒成立，且仅当x=-1时h'（x）=0，∴h（x）在R上为增函数（14分）