Question

已知直线l⊥平面α，O为垂足，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=5，AB=6，AA₁=8，A∈l，B₁∈α，则OC₁的最大值为    ．

Answer

按题意：直线AO垂直于直线B1O，三角形为AOB1为直角三角形，O点在以|AB1|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB1|的中点；此时答案变为求球外一点至球面上一点的距离；按题意：存在直角三角形C1B1P，线段|C1P|为斜边（点C1至球心P的距离）；此时：存在任意三角形C1PO，其中线段|C1P|为C1点至球心P的距离、线段|PO|为球面半径，线段|C1O|的长度是我们要的答案．
【解析】
∵直线AO（即l）垂直于α，直线B1O⊂α，
∴三角形AOB1为直角三角形，
∴O点在以|AB1|为直径的球面上；设球面中心点为P，则点P位于线段|AB1|的中点；
又长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=5，|AB|=6，|AA1|=8，
∴|AB1|=10，，
此时所求变为求球外一点至球面上一点的距离；显然当C1，P，O三点共线时|C1O|最大，
∵在直角三角形C1B1P，线段|C1P|为斜边（点C1至球心P的距离），
∴，
∴|C1O|max=|C1P|+|OP|=．
故答案为：．