Question

设t＞1，点A（-t，0），直线AM、BM的斜率之积为-t，对于每一个t，记点M的轨迹为曲线C_t，
（1）求曲线C_t的方程及焦点坐标；
（2）设O为坐标原点，过点（0，-t）的直线l与曲线C_t交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值S（t），并求S（t）的值域．

Answer

（1）先设出点M的坐标，直接根据直线AM、BM的斜率之积为-t整理即可得到曲线Ct的方程，并求出焦点坐标；
（2）先设出直线方程，把直线方程与曲线方程联立，得到P、Q两点的坐标和直线的斜率之间的关系；再代入三角形的面积计算公式，结合二次函数求值域的方法即可得到结论．（注意需要换元，不然太麻烦）．
【解析】
（1）设M（x，y），则．
整理得曲线的方程为：（x≠±t）．
又因为t＞1，
所以焦点坐标为：（0，t（），（0，-t（））．
（2）设直线l：y=kx+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由得（t+k2）x2-2ktx+t2-t3，
则，．
∴S△=•t•|x1-x2|=•t•=t2•
设t+k2=m，则S（t）=
当1＜t≤2时，（当且仅当t+k2=2时取等号），此时
当t＞2时，，（当且仅当t+k2=t时取等号），此时
综上，S（t）的取值范围是（，+∞）…（9分）