Question

设f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x²+2x）（m∈R）
（1）当m=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x≥0时，f（x）≤0，求实数m的取值范围．

Answer

（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），ln（x+1）≤x．当m=-1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x2-2x，f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0，由此能求出f（x）的单调区间．
（2）由题意得：f（0）=0，f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx≤x+（1+2m）+2mx=（1+2m）（x+1）．由此进行分类讲座能得到所求的m的取值范围．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域是（-1，+∞），
令p（x）=ln（x+1）-x，
，
当x∈（-1，0）时，p′（x）＞0；当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，
∴当x=0时，p（x）取最大值p（0）=ln1-0=0，
∴p（x）=ln（x+1）-x≤0，
∴ln（x+1）≤x．
当m=-1时，f（x）=（x+1）ln（x+1）-x2-2x，
则f'（x）=ln（x+1）-2x-1≤x-2x-1=-（x+1）＜0
∴f（x）的单调递减区间是（-1，+∞）．
（2）由题意得：f（0）=0，
f′（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx
≤x+（1+2m）+2mx
=（1+2m）（x+1）．
若m，x≥0时，f′（x）≤0，
即f（x）在[0，+∞）上是减函数，
故此时f（x）≤f（0）=0恒成立．
若，x≥0时，
设g（x）=ln（x+1）+（1+2m）+2mx，
则，
由＞0，得x＜-；
由＜0，得x＞-．
∴g（x）在（0，）上递增，在（-，+∞）上递减，
∴当时，f′（x）=g（x）＞g（0）=1+2m＞0，
故此时f（x）＞f（0）=0，不符合题意．
若m≥0，x≥0时，
f（x）=（x+1）ln（x+1）+m（x2+2x）≥（x+1）ln（x+1）≥0，不符合题意．
综上所述：所求的m的取值范围是．