Question

已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2^x-2，若同时满足条件：
①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②∃x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0．
则m的取值范围是    ．

Answer

①由于g（x）=2x-2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求
②由于x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0，而g（x）=2x-2＜0，则f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）时成立，结合二次函数的性质可求
【解析】
对于①∵g（x）=2x-2，当x＜1时，g（x）＜0，
又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面
则
∴-4＜m＜0即①成立的范围为-4＜m＜0
又∵②x∈（-∞，-4），f（x）g（x）＜0
∴此时g（x）=2x-2＜0恒成立
∴f（x）=m（x-2m）（x+m+3）＞0在x∈（-∞，-4）有成立的可能，则只要-4比x1，x2中的较小的根大即可
（i）当-1＜m＜0时，-m-3＜-4不立
（ii）当m=-1时，有2等根，不成立
（iii）当-4＜m＜-1时，2m＜-4即m＜-2成立
综上可得①②成立时-4＜m＜-2
故答案为：（-4，-2）