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如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=.点M,N分别在边AB和...

如图,直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=1,BC=manfen5.com 满分网.点M,N分别在边AB和AC 上(M点和B点不重合),将△AMN沿MN翻折,△AMN变为△A′MN,使顶点A′落在边BC上(A′点和B点不重合).设∠AMN=θ.
(1)用θ表示∠BA′M和线段AM的长度,并写出θ的取值范围;
(2)求线段AN长度的最小值.

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(1)由折叠可知△AMN≌△A′MN,可得对应角相等,∠AMN=θ,可得出∠A′MA=2θ,在直角三角形A′MB,根据直角三角形的两锐角互余,即可表示∠BA′M,设MA=MA′=x,由AB=1,利用AB-AM表示出MB为1-x,Rt△MBA′中,根据锐角三角函数定义用x表示出sin(2θ-90°),求出x,利用诱导公式及二倍角的正弦函数公式化简,即可表示出MA,同时由点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合,可得出θ的取值范围; (2)在直角三角形ABC中,由AB及BC的长,利用勾股定理求出AC的长,可得出AC=2AB,即∠ACB为30°,得出∠BAC为60°,在三角形AMN中,∠AMN=θ,利用三角形内角和定理表示出∠ANM,再由AM的长,利用正弦定理列出关系式,化简可得出AN=,设t=2sinθsin(120°-θ),利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,去括号后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式变形,再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,由θ的范围求出这个角的范围,根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域,可得出t的最大值,进而确定出AN的最小值. 【解析】 (1)易知△AMN≌△A′MN,∴∠A′MA=2θ, 则∠A′MB=180°-2θ,∠BA′M=90°-(180°-2θ)=2θ-90°,(2分) 设MA=MA′=x,则MB=1-x, 在Rt△MBA′中,sin(2θ-90°)=-cos2θ=, ∴MA=x==,(5分) ∵点M在线段AB上,M点和B点不重合,A′点和B点不重合, ∴45°<θ<90°;(6分) (2)∵∠B=90°,AB=1,BC=, ∴根据勾股定理得:AC=2, ∴∠BAC=60°, 在△AMN中,由∠AMN=θ,可得∠ANM=180°-60°-θ=120°-θ, 又MA=, ∴根据正弦定理得:=, 可得:AN==,(8分) 令t=2sinθsin(120°-θ)=2sinθ(sinθ+cosθ) =sin2θ+sinθcosθ=+sin2θ-cos2θ=+sin(2θ-30°),(11分) ∵45°<θ<90°,∴60°<2θ-30°<150°, 当且仅当2θ-30°=90°,θ=60°时,t有最大值, 则θ=60°时,AN有最小值.(13分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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