Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，则函数f（x）的各极大值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．
【解析】
因为函数f（x）=ex（sinx-cosx），
所以f'（x）=（ex）'（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）'=2exsinx，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数递减．
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e2kπ+π．
又0≤x≤2011π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2009π==．
故选：A．