Question

已知双曲线-=1的左、右焦点分别F₁、F₂，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F₂作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（ ）
A．|OB|=e|OA|
B．|OA|=e|OB|
C．|OB|=|OA|
D．|OA|与|OB|关系不确定

Answer

根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|-|PF2|=2a，转化为|AF1|-|AF2|=2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．
【解析】
F1（-c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A
∵|PF1|-|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，
|AF1|-|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，
则|（x+c）-（c-x）|=2a
∴x=a；
|OA|=a，
在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC=PF2，
∴在三角形F1CF2中，有：
OB=CF1=（PF1-PC）=（PF1-PF2）=×2a=a．
∴|OB|=|OA|．
故选C．