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已知函数f(x)满足2f(x+2)=f(x),当,当x∈(-4,-2)时,f(x...

已知函数f(x)满足2f(x+2)=f(x),当manfen5.com 满分网,当x∈(-4,-2)时,f(x)的最大值为-4.
(1)求x∈(0,2)时函数f(x)的解析式;
(2)是否存在实数b使得不等式manfen5.com 满分网对于x∈(0,1)∪(1,2)时恒成立,若存在,求出实数 b的取值集合,若不存在,说明理由.
(1)由已知得:f(x)=2f(x+2)=4f(x+4),设x∈(-4,-2)时,则x+4∈(0,2),代入,求出f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4),再根据当x∈(-4,-2)时,f(x)的最大值为-4,利用导数求得它的最大值,解方程即可求得a的值,进而求得结论; (2)假设存在实数b使得不等式对于x∈(0,1)∪(1,2)时恒成立,由(1)可得:x∈(0,1)∪(1,2)时,不等式恒成立,利用分离参数的方法,转化为求函数的最值问题,即可求得b的值. 【解析】 (1)由已知得:f(x)=2f(x+2)=4f(x+4), ,设x∈(-4,-2)时,则x+4∈(0,2), 所以f(x+4)=ln(x+4)+a(x+4) ∴x∈(-4,-2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4a(x+4) ∴,∵,∴, ∴当, 当, ∴,∴a=-1 ∴当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-x (2)由(1)可得:x∈(0,1)∪(1,2)时,不等式恒成立, 即为恒成立, ①当x∈(0,1)时,,令 则 令,则当x∈(0,1)时, ∴h(x)>h(1)=0,∴, ∴g(x)<g(1)=1,故此时只需b≥1即可; ②当x∈(1,2)时,,令 则 令,则当x∈(1,2)时, ∴h(x)>h(1)=0,∴, ∴φ(x)<φ(1)=1,故此时只需b≤1即可, 综上所述:b=1,因此满足题中b的取值集合为:{1}
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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