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已知函数. (1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;...

已知函数manfen5.com 满分网
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在manfen5.com 满分网上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有manfen5.com 满分网
(1)对函数f(x)进行求导,令导函数大于等于0在[1,+∞)上恒成立即可求出a的范围. (2)将a=1代入函数f(x)的解析式,判断其单调性进而得到最大值和最小值. (3)先判断函数f(x)的单调性,令代入函数f(x)根据单调性得到不等式,令n=1,2,…代入可证. 【解析】 (1)∵ ∴ ∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数 ∴对x∈[1,+∞)恒成立, ∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即对x∈[1,+∞)恒成立 ∴a≥1 (2)当a=1时,, ∴当时,f′(x)<0,故f(x)在上单调递减; 当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故f(x)在x∈(1,2]上单调递增, ∴f(x)在区间上有唯一极小值点,故f(x)min=f(x)极小值=f(1)=0 又 ∵e3>16 ∴ ∴f(x)在区间上的最大值 综上可知,函数f(x)在上的最大值是1-ln2,最小值是0. (3)当a=1时,,, 故f(x)在[1,+∞)上为增函数. 当n>1时,令,则x>1,故f(x)>f(1)=0 ∴,即 ∴ ∴ ∴ 即对大于1的任意正整数n,都有
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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