Question

如图，在三棱柱ABC-中，已知CC₁=BB₁=2，BC=1，，AB⊥侧面BB₁C₁C，
（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；
（2）在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁（要求说明理由）．
（3）在（2）的条件下，若，求二面角A-EB₁-A₁的大小．

Answer

方法一：（I）如图，由线面角的定义作出直线C1B与底面ABC所成角，在直角三角形中求出该角的正切值．
（II）由图形及题设可观察出当E为中点时，EA⊥EB1．下由线面垂直来证线线垂直．
（III）先做出二面角的平面角，再进行证明，然后再求角．
方法二：建立空间坐标系，给出各点的坐标，（I）求出面的法向量与线的方向向量，由公式求线面角．
（II）设出E的坐标，将垂直关系转化为向量的内积为零建立方程求E的坐标．即可确定出E的位置．
（III）求出两面的法向量，再由公式求出二面角的余弦值．
【解析】
（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
∴C1B在平面ABC上的射影为CB．
∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角．
∵CC1=BB1=2，BC=1，∴tan∠C1BC=2．
即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．
（2）当E为中点时，EA⊥EB1．
∵CE=EC1=1，BC=B1C1=1，∴∠BEC=∠B1EC1=45，∴∠BEB1=90°，
即B1E⊥BE
又∵AB⊥平面BB1CC1，EB1⊂平面BB1C1C∴AB⊥EB1，
∵BE∩AB=B，∴EB1⊥平面ABE，
EA⊂平面ABE，EA⊥EB1．
（3）取EB1的中点G，A1E的中点F，
则FG∥A1B1，且FG=A1B1，
∵A1B1⊥EB1，∴FG⊥EB1，
连接A1B，AB1，设A1B∩AB1=O，
连接OF，OG，FG，
则OG∥AE，且OG=AE，∵AE⊥EB1，∴OG⊥EB1．
∴∠OGF为二面角A-EB1-A1的平面角．
∵OG=AE=1，且FG=A1B1=，OF=BE=，∠OGF=45°
∴二面角A-EB1-A1的大小为45°，
另【解析】
如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）．

（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，
平面ABC的法向量=（0，2，0）．，
又=（1，2，0）
设C1B与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=|cos|=
∴tanθ=2
即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．
（2）设E（1，y，0），则=（-1，2-y，0），=（-1，y，z）
∵AE⊥EB1，∴AE•EB1=1-y（2-y）=0
∴y=1，即E（1，1，0），∴E为CC1的中点．
（3）∵A（0，0，2），则=（1，1，-），=（1，-1，0），
设平面AEB1的法向量=（x1，y1，z1），
则∴，取=（1，1，）
∵=（1，-1，0），
，=1-1=0∴BE⊥B1E，
又BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量=（1，1，0），∴cos＜，＞=
∴二面角A-EB1-A1的大小为45°．