Question

请选做一题，都做时按先做的题判分，都做不加分．
（1）已知向量，，函数．
①求函数f（x）的最小正周期和值域；
②在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若且a²=bc，试判断△ABC的形状．
（2）已知锐角．
①求证：tanA=2tanB；
②设AB=3，求AB边上的高CD的长．

Answer

（1）①用向量的数量积将函数f（x）的解析式表示出来后化简成y=Asin（ωx+θ）可得答案．
②将代入函数f（x）可求出A的值，再由余弦定理可得到b=c，从而得到答案．
（2）①根据两角和与差的正弦公式展开，可得sinAcosB=2cosAsinB，进而得到答案．
②根据正切函数的两角和公式，得出tanA与tanB的关系，再通过①中tanA=2tanB求出tanA和tanB的值．再通过AB=AD+BD=+进而求出CD的值．
【解析】
（1）①f（x）=
=2sinxcosx+cos2x-sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
T=，值域为[-2，2]．
②∵f（）=2sin（A+）=2∴A=
∵a2=bc
∴cosA==∴b=c
∴△ABC为等边三角形．
（2）①由展开可整理得：

∴sinAcosB=2cosAsinB
∴tanA=2tanB
②∵，
∵，即，
又∵tanA=2tanB，∴2tan2B-4tan2B-1=0．
∴或（舍），
∴，
∴，
∴．