Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为a，侧棱长为，D是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer

（Ⅰ）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，根据中位线可知BC1∥DE，又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，根据线面平行的判定定理可知BC1∥平面AB1D；
（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，求出B1D，在直角三角形AA1D中，求出AD，即可证得AD=B1D，则DE⊥AB1，由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，根据△B1FE∽△B1AA1，即可求出∠DEF．
【解析】
（Ⅰ）连接A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，
∵D为A1C1的中点，
∴DE为△A1BC1的中位线，
∴BC1∥DE．
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，
∴BC1∥平面AB1D
（Ⅱ）过D作DF⊥A1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB1，连接EF，DE，在正△A1B1C1中，
∴，
在直角三角形AA1D中，
∵，
∴AD=B1D．
∴DE⊥AB1，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB1．则∠DEF为二面角A1-AB1-D的平面角，又得，
∵△B1FE∽△B1AA1，
∴
∴．
故所求二面角A1-AB1-D的大小为．