Question

已知f（x）=x²+2x，数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=f′（a_n）-n-1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=f（b_n）．
（1）求证：数列{a_n-n}为等比数列；
（2）令，求证：；
（3）求证：

Answer

（1）先求出函数f（x）的导函数，代入an+1=f′（an）-n-1可得an+1与an的关系，设an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y）进而可得方程组解得x和y，代入an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y），可得an+1-（n+1）=2（an-n），进而可证明数列{an-n}为等比数列．
（2）把（1）中求得的an代入Cn，可得，根据=＜2可知Cn＜，进而可知C2+C3++Cn＜，原式得证．
（3）把bn代入bn+1=f（bn）．可得bn+1+1=（bn+1）2，两边求对数化简得≤，进而根据等比数列的求和公式可推断≤＜2，又进而可证明原式．
【解析】
（1）f'（x）=2x+2⇒an+1=2an+2-n-1⇒an+1=2an-n+1
设an+1+x（n+1）+y=2（an+xn+y）
⇒an+1-（n+1）=2（an-n），
∴数列{an-n}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=2n+n（n∈N*）．
（2）
∴
=．
（3）bn+1=bn2+2bn⇒bn+1+1=（bn+1）2⇒log3（bn+1+1）=2log3（bn+1）
，
又∵
∴原式得证．