Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知（a₅-1）³+2011（a₅-1）=1，（a₂₀₀₇-1）³+2011（a₂₀₀₇-1）=-1，则下列结论正确的是（ ）
A．S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＜a₅
B．S₂₀₁₁=2011，a₂₀₀₇＞a₅
C．S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≤a₅
D．S₂₀₁₁=-2011，a₂₀₀₇≥a₅

Answer

令f（x）=x3+2011x-1，，由f′（x）=3x2+2011＞0可得f（x）在R上单调递增且连续的函数，结合零点判定及f（0），f（1）的符号可知函数f（x）=x3+2011x-1只有唯一的零点x∈（0，1）从而可得a5-1，的符号，同理可得a2007-1的符号，由已知两式相加可得，（a5+a2007-2）[（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011]=0，从而有a5+a2007-2=0，由等差数列的性质可得a1+a2011=a5+a2007=2，代入等差数列的求和公式可求
【解析】
令f（x）=x3+2011x-1，g（x）=x3+2011x+1
f′（x）=3x2+2011＞0
f（x）在R上单调递增且连续的函数
f（0）=-1＜0，f（1）=2011＞0
函数f（x）=x3+2011x-1只有唯一的零点x∈（0，1）
从而可得0＜a5-1＜1，1＜a5＜2，-1＜a2007＜0∴a2007＜a5
∵（a5-1）3+2011（a5-1）=1，（a2007-1）3+2011（a2007-1）=-1
两式相加整理可得，（a5+a2007-2）[（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011]=0
由0＜a5-1＜1，-1＜a2007-1＜0可得（a5-1）2+（a2007-1）2-（a5-1）（a2007-1）+2011＞0
∴a5+a2007-2=0
由等差数列的性质可得，a1+a2011=a5+a2007=2
∴=2011
故选：A