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已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0]上是增函数,在[0,1]上...

已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(-∞,0]上是增函数,在[0,1]上是减函数,其中b、c、d都是实数.
(I)求c的值;
(II)求b的取值范围;
(III)当b≠-3时,令g(x)=manfen5.com 满分网,若g(x)的最小值为h(b),求h(b)的最大值.
(I)据题意,所以0是f(x)的极大值点,判断出0是f(x)的极大值点,得到f′(0)=0,求出c=0; (II),当b>0时,由f′(x)<0得到函数的递减区间为与在[0,1]上是减函数矛盾,不合题意.当b<0时,由f′(x)<0得到函数的递减区间为,令得b的范围. (III)求出g(x)的解析式,分段求出各段函数的最小值,比较出最小值h(b),利用二次函数的性质求出h(b)的最大值. 【解析】 (I)据题意,f′(x)=3x2+2bx+c≥0在(-∞,0]上恒成立, 且f′(x)=3x2+2bx+c≤0在[0,1]上恒成立, 所以0是f(x)的极大值点, 所以f′(0)=0, 所以c=0 (II),由(I)知,f′(x)=3x2+2bx=x(3x+2b), 当b>0时,由f′(x)<0解得, 所以函数的递减区间为与在[0,1]上是减函数矛盾,不合题意. 当b<0时,由f′(x)<0解得, 所以函数的递减区间为, 因为函数在[0,1]上是减函数, 所以f′(x)≤0在[0,1]上恒成立, 所以解得b (III) 当x≠1时,b≠-3时,, 因为, 所以x∈R时,h(b)=, 又b,b≠-3时,h(b)是关于b的增函数, 所以
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考点分析:
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试题属性
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