Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函数，在[0，1]上是减函数，其中b、c、d都是实数．
（I）求c的值；
（II）求b的取值范围；
（III）当b≠-3时，令g（x）=，若g（x）的最小值为h（b），求h（b）的最大值．

Answer

（I）据题意，所以0是f（x）的极大值点，判断出0是f（x）的极大值点，得到f′（0）=0，求出c=0；
（II），当b＞0时，由f′（x）＜0得到函数的递减区间为与在[0，1]上是减函数矛盾，不合题意．当b＜0时，由f′（x）＜0得到函数的递减区间为，令得b的范围．
（III）求出g（x）的解析式，分段求出各段函数的最小值，比较出最小值h（b），利用二次函数的性质求出h（b）的最大值．
【解析】
（I）据题意，f′（x）=3x2+2bx+c≥0在（-∞，0]上恒成立，
且f′（x）=3x2+2bx+c≤0在[0，1]上恒成立，
所以0是f（x）的极大值点，
所以f′（0）=0，
所以c=0
（II），由（I）知，f′（x）=3x2+2bx=x（3x+2b），
当b＞0时，由f′（x）＜0解得，
所以函数的递减区间为与在[0，1]上是减函数矛盾，不合题意．
当b＜0时，由f′（x）＜0解得，
所以函数的递减区间为，
因为函数在[0，1]上是减函数，
所以f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
所以解得b
（III）
当x≠1时，b≠-3时，，
因为，
所以x∈R时，h（b）=，
又b，b≠-3时，h（b）是关于b的增函数，
所以