Question

已知点P（m，-1）（m∈R），过点P作抛物线C：y=x²的切线，切点分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）若过点P的切线的斜率为1，求m的值；
（2）证明x₁，m，x₂成等差数列；
（3）若以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求圆E面积的最小值．

Answer

（1）设出点P的坐标，利用导数求出P的斜率等于1，求m的值；
（2）求出y=x2的导数，通过直线PA与曲线C相切，利用斜率相等，推出x1+x2=2m，即可证明x1，m，x2成等差数列；另解，利用方程直接求出方程的根，推出x1+x2=2m，得到x1，m，x2成等差数列．
（3）通过（2）求出AB的斜率，AB的方程，利用点P到直线AB的距离即为圆E的半径，就是以点P为圆心的圆E与直线AB相切，求出r的表达式，利用换元法与基本不等式，求出r的最小值，即可求圆E面积的最小值．
【解析】
（1）设切点的坐标为（x，y），∵y′=2x=1，∴，∵，
且，∴，解得；
（2）由y=x2可得，y′=2x．∵直线PA与曲线C相切，且过点P（m，-1），
∴，即x12-2mx1-1=0，同理x22-2mx2-1=0，
∴x1，x2为方程x2-2mx-1=0两个根，因此x1+x2=2m，故x1，m，x2成等差数列．
（注：另解，由x12-2mx1-1=0得，或，同理可得：，或，∵x1＜x2，∴，．  因此x1+x2=2m，故x1，m，x2成等差数列．
（3）由（2）可知，x1+x2=2m，x1•x2=-1，则直线AB的斜率，∴直线AB的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2mx-y+1=0．
∵点P到直线AB的距离即为圆E的半径，即，
设4m2+1=t，t≥1，则=，
当且仅当t=3时，等号成立，即，时取等号．
故圆E面积的最小值S=πr2=3π．