Question

已知函数（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；
（2）当a=2时，求证：（x＞2）；
（3）求证：（n∈N^*且n≥2）．

Answer

（1）先求导函数，要使函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，分离参数可得恒成立，所以，由于x∈[2，+∞），可知，从而问题得解．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数在[2，+∞）上是增函数，所以当x＞2时，f（x）＞f（2），从而不等式左边得证，构造函数g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有，可知g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，从而不等式右边成立，故得证
（3）在（2）的结论中令，则，取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，即可证得．
【解析】
（1）因为，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即恒成立，所以．
又x∈[2，+∞），则，所以a≥1．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数在[2，+∞）上是增函数，
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即，则．
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有，
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有（x＞2）．
（3）在（2）的结论中令，则，
取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，，
所以，
即（n∈N*且n≥2）