Question

（1）选修4-4：矩阵与变换
已知曲线C₁：y=绕原点逆时针旋转45°后可得到曲线C₂：y²-x²=2，
（I）求由曲线C₁变换到曲线C₂对应的矩阵M₁；    
（II）若矩阵，求曲线C₁依次经过矩阵M₁，M₂对应的变换T₁，T₂变换后得到的曲线方程．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在曲线C：（θ为参数）上求一点，使它到直线l的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．
（3）（选修4-5：不等式选讲）
将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，
（I）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
（II）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值．

Answer

（1）（I）因为把曲线C1逆时针旋转θ角，得到曲线C2，则旋转变换矩阵为．
（II）先求出依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵，再设曲线C1上任一点经过变换后的对应点坐标，用变换后的坐标表示变换前的坐标，再代入变换前曲线满足的方程，化简即得变换后的曲线方程．
（2）先由直线l的极坐标方程求出直角坐标方程，设出曲线C上任意一点P坐标，用点到直线的距离公式求出点P到直线l的距离，再借助基本正弦函数的最值求出点P到直线l的最小距离．
（3）（I）因为长方体的体积为abc，而a+b+c=12，应用不等式，就可求出体积的最大值．
（II）先把三个正三角形的面积和用S=表示，因为l+m+n=4，而（l2+m2+n2）（12+12+12）≥（l+m+n）2，所以只需让S乘3再除3即可变形成公式的形式，求出最值．
【解析】
（1）（I）∵曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2：y2-x2=2，∴旋转变换矩阵=；
（II）设依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵
任取曲线C1：y=上的一点P（x，y），它在变换TM作用下变成点P′（x′，y′），则有，即，∴
又因为点P在C1：y=上，得到=1即=1．
（2）∵直线l的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0，∴直角坐标方程是x+y-1=0
设所求的点为P（-1+cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d=|
当θ+，k∈Z时，即θ=2kπ+，k∈Z，d的最小值为-1
（3）（I）由已知得，a+b+c=12，∴=64；
当且仅当a=b=c=4时，等号成立．
（II）设三个正三角形的边长分别为l，m，n，则l+m+n=4
∴这三个正三角形面积和为S=
∴3S=≥
∴S≥
当且仅当a=b=c=1时，等号成立．