Question

已知函数f（x）的定义域为I，导数f′（x）满足0＜f′（x）＜2，且f′（x）≠1，常数c₁为方程f（x）-x=0的实数根，常数c₂为方程f（x）-2x=0的实数根．
（1）若对任意[a，b]⊆I，存在x∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x）成立．求证：方程f（x）-x=0不存在异于c₁的实数根；
（2）求证：当x＞c₂时，总有f（x）＜2x成立．

Answer

（1）利用反证法．假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，则有m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x）成立，根据m≠c1，可得f′（x）=1，从而与f′（x）≠1矛盾，故命题得证；
（2）构造h（x）=f（x）-2x，可以得出函数h（x）为减函数，根据h（c2）=f（c2）-2c2=0，可得结论．
证明：（1）假设方程f（x）-x=0有存在异于c1的实数根m，即f（m）=m，
则∵对任意[a，b]⊆I，存在x∈（a，b），使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x）成立
∴m-c1=f（m）-f（c1）=（m-c1）f′（x）成立
∵m≠c1，∴f′（x）=1，这与f′（x）≠1矛盾
∴方程f（x）-x=0不存在异于c1的实数根；
（2）令h（x）=f（x）-2x，
∵h′（x）=f′（x）-2＜0，
∴函数h（x）为减函数
又∵h（c2）=f（c2）-2c2=0
∴当x＞c2时，h（x）＜0，
即f（x）＜2x成立．