Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（1）求x₁与x₂的值；
（2）若以点P为圆心的圆与直线MN相切，求圆的面积．

Answer

（1）由y=x2先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T相切，且过点P（1，-1），得到 ，或 ．同理可得 ，或 ，然后由x1＜x2知 ，．
（2）由题意知，x1+x2=2，x1•x2=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，从而可求出圆E的面积．
【解析】
（1）由y=x2可得，y′=2x．
∵直线PM与曲线T相切，且过点P（1，-1），
∴，即x12-2x1-1=0，
∴，或 ，
同理可得：，或
∵x1＜x2，∴，．
（2）由（1）知，x1+x2=2，x1•x2=-1，
则直线MN的斜率 ，
∴直线M的方程为：y-y1=（x1+x2）（x-x1），又y1=x12，
∴y-x12=（x1+x2）x-x12-x1x2，即2x-y+1=0．
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即 ，
故圆E的面积为 ．