Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=（n∈N^*）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与数列{b_n}的前n项积分别记为S_n，T_n证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer

（1）设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，由函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，知x2+ax+b=0的两个实根为α，β．由韦达定理能求出a和b．
（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，从而，所以=，由此能够证明对任意正整数n，2n+1Tn+Sn=+为定值．
（3）由a1＞0，，知{an}为单调递增的正数数列，由，知{bn}为递减的正数数列，由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤Sn＜2．
（1）【解析】
设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，
则α+β=-2，αβ=-15，
∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，
∴x2+ax+b=0的两个实根为α，β，
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，
从而2an+1=an（an+2），即，
∵2an+1=an（an+2），
∴=
==，
∴Tn=b1•b2•b3…bn
=
=．
Sn=b1+b2+…+bn
=（）+（）+…+（）
=，n∈N*．
∴对任意正整数n，2n+1Tn+Sn=+=2为定值．
（3）证明：∵a1＞0，，
∴an+1＞an＞0，n∈N*
即{an}为单调递增的正数数列，
∵，
∴{bn}为递减的正数数列，且，
∴，
∵，
∴对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤Sn＜2．