Question

已知函数f（x）=x²-alnx，x∈（1，2），
（1）判断函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）在（1，2）为增函数，在（0，1）上为减函数．
求证：方程f（x）=g（x）+2在（0，+∞）内有唯一解；
（3）当b＞-1时，若在x∈（0，1）内恒成立，求实数b的取值范围．

Answer

（1）由f（x）的解析式求出f（x）的导函数，分a≤2和a≥8以及2＜a＜8三种情况，分别令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的递减区间；
（2）由（1）不难给出方程f（x）=g（x）+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性；
（3）f（x） 在（0，1]上恒成立 在（0，1]上恒成立．由此能导出b的取值范围．
【解析】
（1）
①当2＜a＜8时，当时，f'（x）＜0，∴f（x）在单调递减；
当时，f'（x）＞0，∴f（x）在单调递增；
②当a≤2时，f'（x）≥0，∴f（x）在（1，2）单调递增；
③当a≥8时，f'（x）≤0，∴f（x）在（1，2）单调递减；
（2），依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x2，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又 ，依题意g'（x）≤0，x∈（0，1），即 ，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴方程f（x）=g（x）+2，．
设 ，

令h'（x）＞0，并由x＞0，得 ，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：
知h（x）在x=1处有一个最小值0
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）f（x） 在（0，1]上恒成立，在（0，1]上恒成立．
设 ，则 ，
∵0＜x≤1⇒x2-2＜0，2lnx＜0，
∴H′（x）＜0，H（x）d （0，1]单调递减，
∴-1＜b≤1，又∵b＞-1，∴．