Question

设数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=na_n-2n（n-1）．等比数列{b_n}的前n项和为T_n，公比为a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为M_n，求证：≤M_n＜．

Answer

（1）根据T5=T3+2b5 ，求得 b4=b5，得到公比 a1==1，再由当n≥2时，an=sn-sn-1 可得数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列，由此求得数列{an}的通项公式．
（2）用裂项法求得 Mn =（1-）＜，再由数列{ Mn }是增数列，可得 Mn≤M1=，从而命题得证．
【解析】
（1）∵等比数列{bn}的前n项和为Tn，公比为a1，且T5=T3+2b5 ，∴b4+b5=2b5，
∴b4=b5，∴公比 a1==1，故等比数列{bn}是常数数列．
数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=nan-2n（n-1），当n≥2时，
an=sn-sn-1=nan-2n（n-1）-[nan-1-2（n-1）（n-2）]，∴an-an-1=4 （n≥2）．
∴数列{an}是以1为首项，以4为公差的等差数列，an=4n-3．
（2）∵数列{}的前n项和为Mn，
===，
∴Mn =[1-+++…+]=（1-）＜．
再由数列{ Mn }是增数列，∴Mn≥M1=．
综上可得，≤Mn＜．